2.2.6 迹及其应用
设 A=(aij) 是 n 阶矩阵,则 A 主对角线上元素之和
a11+a22+⋯+ann
称为矩阵 A 的迹,记为 trA . 迹是矩阵的一个重要不变量 (相似不变量). 用迹来证明某些问题有时特别简单, 我们将在以后的章节中陆续介绍. 这里我们介绍迹的几个基本性质, 首先是迹的 “线性”、“对称性” 和 “交换性”.
例 2.39 设 A,B 是 n 阶矩阵,求证:
(1) tr(A+B)=trA+trB ; (2) tr(kA)=k(trA) ;
(3) tr(A′)=trA ; (4) tr(AB)=tr(BA) .
证明 (1)、(2) 以及 (3) 显然可得, 只须证明 (4) 即可. 设
A=a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋯a1na2n⋮ann,B=b11b21⋮bn1b12b22⋮bn2⋯⋯⋯b1nb2n⋮bnn
设 C=AB,D=BA,C=(cij),D=(dij) ,则
tr(AB)=i=1∑ncii=i=1∑nk=1∑naikbki,tr(BA)=i=1∑ndii=i=1∑nk=1∑nbikaki.
由求和的交换性即得: tr(AB)=tr(BA) .
例 2.40 求证: 不存在 n 阶矩阵 A,B ,使 AB−BA=kIn(k=0) .
证明 用反证法证明. 若存在 n 阶矩阵 A,B 适合条件 AB−BA=kIn(k= 0) ,则 kn=tr(kIn)=tr(AB−BA)=tr(AB)−tr(BA)=0 ,矛盾.
例 2.41 设 A 是 n 阶矩阵, P 是同阶可逆矩阵,求证: tr(P−1AP)=trA ,即相似矩阵具有相同的迹.
证明 因为 tr(AB)=tr(BA) ,故 tr(P−1AP)=tr(PP−1A)=trA .
迹还有一个基本性质是所谓的 “正定性”, 用它可以证明一个矩阵是零矩阵.
例 2.42 证明下列结论:
(1) 若 A 是 n 阶实矩阵,则 tr(AA′)≥0 ,等号成立的充要条件是 A=O ;
(2) 若 A 是 n 阶复矩阵,则 tr(AA′)≥0 ,等号成立的充要条件是 A=O .
证明 (1) 设 A=(aij) 为 n 阶实矩阵,则通过计算可得
tr(AA′)=i=1∑nj=1∑naij2≥0
等号成立当且仅当 aij=0(i,j=1,2,⋯,n) ,即 A=O .
(2) 设 A=(aij) 为 n 阶复矩阵,则通过计算可得
tr(AA′)=i=1∑nj=1∑n∣aij∣2≥0
等号成立当且仅当 aij=0(i,j=1,2,⋯,n) ,即 A=O . [
例 2.43 设 Ai(i=1,2,⋯,k) 是实对称阵且 A12+A22+⋯+Ak2=O ,证明: 每个 Ai=O .
证明 对题设中的等式两边同时取迹, 可得
0=trO=tr(A12+A22+⋯+Ak2)=tr(A1A1′)+tr(A2A2′)+⋯+tr(AkAk′).
由例 2.42 可得 tr(AiAi′)≥0(i=1,2,⋯,k) ,从而只可能是 tr(AiAi′)=0 ,再次由例 2.42 可得 Ai=O(i=1,2,⋯,k) .
例 2.44 证明下列结论:
(1) 设 n 阶实矩阵 A 适合 A′=−A ,如果存在同阶实矩阵 B ,使 AB=B , 则 B=O ;
(2) 设 n 阶复矩阵 A 适合 A′=−A ,如果存在同阶矩阵 B ,使 AB=B , 则 B=O .
证明 (1) 在等式 AB=B 两边同时左乘 B′ 可得
B′AB=BB′.
上式两边同时转置并注意到 A′=−A ,可得
BB′=(BB′)′=(B′AB)′=B′A′B=−B′AB=−BB′,
从而有 BB′=O . 两边同时取迹,由例 2.42 可得 B=O .
(2) 的证明与 (1) 类似.
例 2.45 设 A 为 n 阶实矩阵,满足 AA′=A2 ,求证: A 是对称矩阵.
证明 要证明 A=A′ ,即 A−A′=O ,由例 2.42 可知,只要证明 tr((A− A′)(A−A′)′)=0 即可. 由 AA′=A2 可得 (A′)2=AA′ ,再由迹的交换性可得
tr((A−A′)(A−A′)′)=tr((A−A′)(A′−A))=tr(AA′−A2−(A′)2+A′A)
=tr(A′A−AA′)=tr(A′A)−tr(AA′)=0,
从而结论得证.
矩阵求迹的技巧也常常和基础矩阵联系在一起, 让我们来看下面两个例题.
例 2.46 设 A,B 是两个 n 阶矩阵,若 tr(ABC)=tr(CBA) 对任意 n 阶矩阵 C 成立,求证: AB=BA .
证明 设 AB=(dij),BA=(eij) ,令 C=Ekl(k,l=1,2,⋯,n) ,则
tr(ABC)=dlk,tr(CBA)=elk,
因此 dlk=elk(k,l=1,2,⋯,n) ,即有 AB=BA .
注 若 A,B 是实 (复) 矩阵,我们还可以通过迹的正定性来证明结论. 事实上, 由迹的交换性和线性可得 tr((AB−BA)C)=0 ,令 C 为 AB−BA 的转置 (共轭转置), 再由例 2.42 即可得到结论.
下面的例题给出了迹的刻画, 它告诉我们迹函数由线性、交换性和单位矩阵处的取值唯一决定.
例 2.47 设 f 是数域 F 上 n 阶矩阵集合到 F 的一个映射,它满足下列条件:
(1) 对任意的 n 阶矩阵 A,B,f(A+B)=f(A)+f(B) ;
(2) 对任意的 n 阶矩阵 A 和 F 中数 k,f(kA)=kf(A) ;
(3) 对任意的 n 阶矩阵 A,B,f(AB)=f(BA) ;
(4) f(In)=n .
求证: f 就是迹,即 f(A)=trA 对一切 F 上 n 阶矩阵 A 成立.
证明 设 Eij 是 n 阶基础矩阵. 因为 f(In)=n ,所以由 (1),有
f(In)=f(E11+E22+⋯+Enn)=f(E11)+f(E22)+⋯+f(Enn).
又由 (3), 有
f(Eii)=f(EijEji)=f(EjiEij)=f(Ejj),
所以 f(Eii)=1 . 另一方面,若 i=j,Eij=Ei1E1j ,则
f(Eij)=f(Ei1E1j)=f(E1jEi1)=f(O)=0⋅f(In)=0.
若 A=(aij) ,则
f(A)=f(i,j=1∑naijEij)=i,j=1∑naijf(Eij)=i=1∑naii=trA.